حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{\sin (x + 1)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\sin (x + 1)}$ في صورة ${\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \sin (x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x + 1)$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 7.3

انقُل ${\sin (x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x + 1)]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 8.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\cos (x + 1)$ و $\frac{1}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 9.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 9.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

خطوة 9.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 9.5.2

اضرب $\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2 {\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افصِل الكسور.

$\frac{\cos (x + 1)}{2} \cdot \frac{1}{{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.2

حوّل من $\frac{1}{{\sin (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ إلى ${\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x + 1)}{2} {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 10.3

اجمع $\frac{\cos (x + 1)}{2}$ و ${\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\cos (x + 1) {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 10.4

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\cos (x + 1) {\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{{\csc (x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cos (x + 1)}{2}$