حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - x}{x^{2}}$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - 2 x^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - x}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 x^{2}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - x}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

خطوة 1.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x^{2}} d x$

خطوة 1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

خطوة 1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

خطوة 1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{x^{2} - 2 x - 1}{x} d x$

خطوة 2

اقسِم $x^{2} - 2 x - 1$ على $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

خطوة 2.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

خطوة 2.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

خطوة 2.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

خطوة 2.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x + 0$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

خطوة 2.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							-	$1$

خطوة 2.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int x - 2 - \frac{1}{x} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{x} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{x} d x$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (\ln (| x |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x - \ln (| x |) + C$