حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{1 + \cos (2 x)}$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $1 + \cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

خطوة 4

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل $\cos (x)$ إلى $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 5

استخدِم متطابقة فيثاغورس لتحويل $1$ إلى $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ من ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

خطوة 6.2

أضف ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ و ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

خطوة 6.3

أضف $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 7

اضرب المتغير المستقل في $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

خطوة 8

اجمع.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

خطوة 9

اضرب ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

خطوة 10

أعِد كتابة $\sec (\frac{u}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

خطوة 11

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

خطوة 12

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

خطوة 13

اضرب $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ و $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 13.2

اجمع $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ و $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

خطوة 14

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 15

أعِد كتابة $\sec (\frac{u}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 16

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 17

اجمع.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

خطوة 18

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

خطوة 18.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 19

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 20

اضرب في $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

خطوة 21

افصِل الكسور.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

خطوة 22

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ إلى $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

خطوة 23

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

خطوة 23.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

خطوة 24

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1})$

خطوة 25

لنفترض أن $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ، لذا $2 d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

افترض أن $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

خطوة 25.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $\frac{u_{1}}{2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 25.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 25.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 25.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

خطوة 26

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 26.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2})$

خطوة 26.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2})$

خطوة 26.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 27

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 28

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 28.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 28.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 28.3

اضرب $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 29

بما أن مشتق $\tan (u_{2})$ هو $\sec^{2} (u_{2})$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u_{2})$ هو $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{2}) + C)$

خطوة 30

بسّط.

$\frac{1}{2} \tan (u_{2}) + C$

خطوة 31

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C$

خطوة 31.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

خطوة 32

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.1

اختزِل العبارة $\frac{2 x}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

خطوة 32.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{x}{1}) + C$

خطوة 32.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$\frac{1}{2} \tan (x) + C$