حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{5}{1 + 2 t}$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int \frac{1}{1 + 2 t} d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 1 + 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 1 + 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 2 t]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 2.1.4

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$5 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$5 \int \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $5$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{2} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{5}{2} \ln (| u |) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + 2 t$ .

$\frac{5}{2} \ln (| 1 + 2 t |) + C$