حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . إذن $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ ، لذا $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 + 5 e^{- 3 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 e^{- 3 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- 3 x$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 2.1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 2.1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- 3 x$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 2.1.3.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

خطوة 2.1.3.5

اضرب $- 3$ في $1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

خطوة 2.1.3.6

انقُل $- 3$ إلى يسار $e^{- 3 x}$ .

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

خطوة 2.1.3.7

اضرب $- 3$ في $5$ .

$0 - 15 e^{- 3 x}$

خطوة 2.1.4

اطرح $15 e^{- 3 x}$ من $0$ .

$- 15 e^{- 3 x}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

خطوة 3.2

اجمع ${u_{2}}^{2}$ و $\frac{1}{15}$ .

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

خطوة 5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{15}$ خارج التكامل.

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{15}$ و $- 3$ .

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 7.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

خطوة 9.2.2

اضرب $3$ في $5$ .

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$