حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 x^{4} + 3$ . إذن $d u = 12 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 x^{4} + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $4$ في $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$12 x^{3} + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $12 x^{3}$ و $0$ .

$12 x^{3}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

خطوة 3

اجمع $u^{9}$ و $\frac{1}{12}$ .

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{12}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{12}$ و $4$ .

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{9}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة $\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

خطوة 7.2.2

اضرب $3$ في $10$ .

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$