حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \cos (4 x)$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x^{2}$ و $d v = \cos (4 x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\sin (4 x)$ .

$x^{2} \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x^{2}$ و $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) (2 x) d x$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int \sin (4 x) (x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int \sin (4 x) (x) d x)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x)$

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} \int \sin (4 x) (x) d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (4 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\cos (4 x)$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

خطوة 6.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (4 x)}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x)$

خطوة 6.3

اجمع $\cos (4 x)$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} - - \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

خطوة 8.2

اضرب $\int \frac{\cos (4 x)}{4} d x$ في $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x)$

خطوة 10

لنفترض أن $u = 4 x$ . إذن $d u = 4 d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u = 4 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u)$

خطوة 11

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u)$

خطوة 13.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u)$

خطوة 14

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد كتابة $\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C))$ بالصيغة $\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$ .

$\frac{1}{4} x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.2

اجمع $\frac{x^{2}}{4}$ و $\sin (4 x)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{x}{4} \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.4

اجمع $\cos (4 x)$ و $\frac{x}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{1}{16} \sin (u)) + C$

خطوة 15.2.5

اجمع $\frac{1}{16}$ و $\sin (u)$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) + C$

خطوة 15.2.6

لكتابة $- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

خطوة 15.2.7

اجمع $- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x)}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

خطوة 15.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{1}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

خطوة 15.2.9

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 4 (\frac{1}{2}) (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

خطوة 15.2.10

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 4}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

خطوة 15.2.11

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.11.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

خطوة 15.2.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

خطوة 15.2.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

خطوة 15.2.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{- 2}{1} (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

خطوة 15.2.11.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (u)}{16})}{4} + C$

خطوة 16

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4} + \frac{\sin (4 x)}{16})}{4} + C$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 (- \frac{\cos (4 x) x}{4}) - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

خطوة 17.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\cos (4 x) x}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - 2 \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

خطوة 17.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 (- 1) \frac{- \cos (4 x) x}{4} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

خطوة 17.2.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

خطوة 17.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 2 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x) x}{2 \cdot 2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

خطوة 17.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - 2 \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

خطوة 17.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 (- 1) \frac{\sin (4 x)}{16}}{4} + C$

خطوة 17.3.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

خطوة 17.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

خطوة 17.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - \frac{- \cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 17.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{x^{2} \sin (4 x) - - \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 17.4.2

اضرب $- - \frac{\cos (4 x) x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + 1 \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 17.4.2.2

اضرب $\frac{\cos (4 x) x}{2}$ في $1$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 17.5

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\cos (4 x) x}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}$ .

$\frac{x^{2} \sin (4 x) + \frac{x \cos (4 x)}{2} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

لكتابة $x^{2} \sin (4 x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + x^{2} \sin (4 x) \cdot \frac{8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18.1.2

اجمع $x^{2} \sin (4 x)$ و $\frac{8}{8}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18.1.4

لكتابة $\frac{x \cos (4 x)}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18.1.5

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.5.1

اضرب $\frac{x \cos (4 x)}{2}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18.1.5.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18.1.7

أعِد كتابة $\frac{x \cos (4 x) \cdot 4 + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.7.1

انقُل $4$ إلى يسار $x \cos (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 \cdot (x \cos (4 x)) + x^{2} \sin (4 x) \cdot 8 - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18.1.7.2

انقُل $8$ إلى يسار $x^{2} \sin (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}}{4} + C$

خطوة 18.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

خطوة 18.3

اضرب $\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

اضرب $\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

خطوة 18.3.2

اضرب $8$ في $4$ .

$\frac{4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)}{32} + C$

خطوة 18.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{32} (4 x \cos (4 x) + 8 x^{2} \sin (4 x) - \sin (4 x)) + C$