حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\frac{e^{y} - e^{- y}}{2})}^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$2 \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $2$ و $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

خطوة 2.2.2

اقسِم $e^{y} - e^{- y}$ على $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

خطوة 2.3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}])$

خطوة 2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{y} - e^{- y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ هو $a^{y} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- e^{- y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - \frac{d}{d y} [e^{- y}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y]))$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y]))$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]))$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 6.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + 1 e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 6.2.2

اضرب $e^{- y}$ في $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \cdot 1)$

خطوة 6.4

اضرب $e^{- y}$ في $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(e^{y} \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

خطوة 7.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $e^{y}$ و $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

خطوة 7.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{- y}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

خطوة 7.3

أعِد ترتيب عوامل $(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$ .

$(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.4

وسّع $(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

اضرب $e^{y} \frac{e^{y}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1.1

اجمع $e^{y}$ و $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{y} e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.1.2

اضرب $e^{y}$ في $e^{y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{y + y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.1.2.2

أضف $y$ و $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{e^{2 y}}{2} - e^{y} \frac{e^{- y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.3

اضرب $- e^{y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.3.1

اجمع $\frac{e^{- y}}{2}$ و $e^{y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.3.2

اضرب $e^{- y}$ في $e^{y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.3.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.3.2.2

أضف $- y$ و $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.3.3

بسّط $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.4

اضرب $e^{- y} \frac{e^{y}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.4.1

اجمع $e^{- y}$ و $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.4.2

اضرب $e^{- y}$ في $e^{y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.4.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.4.2.2

أضف $- y$ و $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.4.3

بسّط $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

خطوة 7.5.1.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$

خطوة 7.5.1.6

اضرب $- e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.6.1

اجمع $\frac{e^{- y}}{2}$ و $e^{- y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y} e^{- y}}{2}$

خطوة 7.5.1.6.2

اضرب $e^{- y}$ في $e^{- y}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.6.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y - y}}{2}$

خطوة 7.5.1.6.2.2

اطرح $y$ من $- y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

خطوة 7.5.2

أضف $- \frac{1}{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + 0 - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

خطوة 7.5.3

أضف $\frac{e^{2 y}}{2}$ و $0$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$