حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x \ln^{2} (11 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln^{2} (11 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (11 x)] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (11 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (11 x)$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (11 x)$ .

$x (2 \ln (11 x) \frac{d}{d x} [\ln (11 x)]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 11 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $11 x$ .

$x (2 \ln (11 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [11 x])) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$x (2 \ln (11 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [11 x])) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $11 x$ .

$x (2 \ln (11 x) (\frac{1}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x])) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{11 x}$ و $2$ .

$x (\frac{2}{11 x} \ln (11 x) \frac{d}{d x} [11 x]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $\frac{2}{11 x}$ و $\ln (11 x)$ .

$x (\frac{2 \ln (11 x)}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2.2

اجمع $\frac{2 \ln (11 x)}{11 x}$ و $x$ .

$\frac{2 \ln (11 x) x}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \ln (11 x) x}{11 x} \frac{d}{d x} [11 x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \ln (11 x)}{11} \frac{d}{d x} [11 x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.3

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $11 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 \ln (11 x)}{11} (11 \frac{d}{d x} [x]) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اجمع $11$ و $\frac{2 \ln (11 x)}{11}$ .

$\frac{11 (2 \ln (11 x))}{11} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4.2

اضرب $2$ في $11$ .

$\frac{22 \ln (11 x)}{11} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $22$ و $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

أخرِج العامل $11$ من $22 \ln (11 x)$ .

$\frac{11 (2 \ln (11 x))}{11} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.2.1

أخرِج العامل $11$ من $11$ .

$\frac{11 (2 \ln (11 x))}{11 (1)} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{11 (2 \ln (11 x))}{11 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \ln (11 x)}{1} \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4.3.2.4

اقسِم $2 \ln (11 x)$ على $1$ .

$2 \ln (11 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \ln (11 x) \cdot 1 + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.6

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \ln (11 x) + \ln^{2} (11 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \ln (11 x) + \ln^{2} (11 x) \cdot 1$

خطوة 4.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اضرب $\ln^{2} (11 x)$ في $1$ .

$2 \ln (11 x) + \ln^{2} (11 x)$

خطوة 4.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\ln^{2} (11 x) + 2 \ln (11 x)$