حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x \coth (3 + x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \coth (3 + x^{2})$ .

$x \frac{d}{d x} [\coth (3 + x^{2})] + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \coth (x)$ و $g (x) = 3 + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 + x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\coth (u)] \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

مشتق $\coth (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- {csch}^{2} (u)$ .

$x (- {csch}^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 + x^{2}$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x (- {csch}^{2} (3 + x^{2}) (2 x)) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2}) x) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{1} x^{1} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{1 + 1} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2}) \cdot 1$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\coth (3 + x^{2})$ في $1$ .

$x^{2} (- 2 {csch}^{2} (3 + x^{2})) + \coth (3 + x^{2})$

خطوة 9.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 x^{2} {csch}^{2} (3 + x^{2}) + \coth (3 + x^{2})$