حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \frac{a}{x} - \frac{b}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{a}{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$1 + a \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{b}{x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{3}}$ بالصيغة ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

خطوة 3.5

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

خطوة 3.5.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

خطوة 3.6

اضرب $3$ في $- 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 6} x^{2})$

خطوة 3.7

اضرب $x^{- 6}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

انقُل $x^{2}$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

خطوة 3.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{2 - 6})$

خطوة 3.7.3

اطرح $6$ من $2$ .

$1 + a (- x^{- 2}) - b (- 3 x^{- 4})$

خطوة 3.8

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$1 + a (- x^{- 2}) + 3 b x^{- 4}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b x^{- 4}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + a (- \frac{1}{x^{2}}) + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $a$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + 3 b \frac{1}{x^{4}}$

خطوة 4.3.2

اجمع $3$ و $\frac{1}{x^{4}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + b \frac{3}{x^{4}}$

خطوة 4.3.3

اجمع $b$ و $\frac{3}{x^{4}}$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{b \cdot 3}{x^{4}}$

خطوة 4.3.4

انقُل $3$ إلى يسار $b$ .

$1 - \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{a}{x^{2}} + \frac{3 b}{x^{4}} + 1$