حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (6 x)$ و $g (x) = \ln (\sin^{2} (6 x))$ .

$\sin (6 x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin^{2} (6 x))] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin^{2} (6 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin^{2} (6 x)$ .

$\sin (6 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\sin (6 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin^{2} (6 x)$ .

$\sin (6 x) (\frac{1}{\sin^{2} (6 x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 3

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (6 x)}$ إلى $\csc^{2} (6 x)$ .

$\sin (6 x) (\csc^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (6 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (6 x)$ .

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (6 x)$ .

$\sin (6 x) \csc^{2} (6 x) (2 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 5

ارفع $\sin (6 x)$ إلى القوة $1$ .

$\csc^{2} (6 x) (2 (\sin^{1} (6 x) \sin (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 6

ارفع $\sin (6 x)$ إلى القوة $1$ .

$\csc^{2} (6 x) (2 (\sin^{1} (6 x) \sin^{1} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\csc^{2} (6 x) (2 {\sin (6 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أضف $1$ و $1$ .

$\csc^{2} (6 x) (2 \sin^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 8.2

انقُل $2$ إلى يسار $\csc^{2} (6 x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $6 x$ .

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 9.2

مشتق $\sin (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\cos (u_{3})$ .

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $6 x$ .

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 10

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 10.2

اضرب $6$ في $2$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 10.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) \cdot 1 + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 10.4

اضرب $12$ في $1$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $6 x$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 11.2

مشتق $\sin (u_{4})$ بالنسبة إلى $u_{4}$ يساوي $\cos (u_{4})$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 11.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $6 x$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) (6 \cdot 1)$

خطوة 12.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اضرب $6$ في $1$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + \ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x) \cdot 6$

خطوة 12.3.2

انقُل $6$ إلى يسار $\ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x)$ .

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cdot (\ln (\sin^{2} (6 x)) \cos (6 x))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد ترتيب الحدود.

$12 \csc^{2} (6 x) \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

خطوة 13.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

أعِد كتابة $\csc (6 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$12 {(\frac{1}{\sin (6 x)})}^{2} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

خطوة 13.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\sin (6 x)}$ .

$12 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

خطوة 13.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$12 \frac{1}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

خطوة 13.2.4

اجمع $12$ و $\frac{1}{\sin^{2} (6 x)}$ .

$\frac{12}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

خطوة 13.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin^{2} (6 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{\sin^{2} (6 x)} \sin^{2} (6 x) \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$

خطوة 13.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$12 \cos (6 x) + 6 \cos (6 x) \ln (\sin^{2} (6 x))$