حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{70 y^{2}}{y^{2} + 150}$

خطوة 1

بما أن $70$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{70 y^{2}}{y^{2} + 150}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $70 \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{y^{2} + 150}]$ .

$70 \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{y^{2} + 150}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = y^{2} + 150$ .

$70 \frac{(y^{2} + 150) \frac{d}{d y} [y^{2}] - y^{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 150]}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$70 \frac{(y^{2} + 150) (2 y) - y^{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 150]}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2} + 150$ .

$70 \frac{2 \cdot (y^{2} + 150) y - y^{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 150]}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 150$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [150]$ .

$70 \frac{2 (y^{2} + 150) y - y^{2} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [150])}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$70 \frac{2 (y^{2} + 150) y - y^{2} (2 y + \frac{d}{d y} [150])}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $150$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $150$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$70 \frac{2 (y^{2} + 150) y - y^{2} (2 y + 0)}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2 y$ و $0$ .

$70 \frac{2 (y^{2} + 150) y - y^{2} (2 y)}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$70 \frac{2 (y^{2} + 150) y - 2 y^{2} y}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$70 \frac{2 (y^{2} + 150) y - 2 (y^{1} y^{2})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$70 \frac{2 (y^{2} + 150) y - 2 y^{1 + 2}}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 6

أضف $1$ و $2$ .

$70 \frac{2 (y^{2} + 150) y - 2 y^{3}}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 7

اجمع $70$ و $\frac{2 (y^{2} + 150) y - 2 y^{3}}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$ .

$\frac{70 (2 (y^{2} + 150) y - 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{70 ((2 y^{2} + 2 \cdot 150) y - 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{70 (2 y^{2} y + 2 \cdot 150 y - 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{70 (2 y^{2} y) + 70 (2 \cdot 150 y) + 70 (- 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.1

انقُل $y$ .

$\frac{70 (2 (y \cdot y^{2})) + 70 (2 \cdot 150 y) + 70 (- 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.1.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{70 (2 (y^{1} y^{2})) + 70 (2 \cdot 150 y) + 70 (- 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{70 (2 y^{1 + 2}) + 70 (2 \cdot 150 y) + 70 (- 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{70 (2 y^{3}) + 70 (2 \cdot 150 y) + 70 (- 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.2

اضرب $2$ في $70$ .

$\frac{140 y^{3} + 70 (2 \cdot 150 y) + 70 (- 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.3

اضرب $2$ في $150$ .

$\frac{140 y^{3} + 70 (300 y) + 70 (- 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.4

اضرب $300$ في $70$ .

$\frac{140 y^{3} + 21000 y + 70 (- 2 y^{3})}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.1.5

اضرب $- 2$ في $70$ .

$\frac{140 y^{3} + 21000 y - 140 y^{3}}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $140 y^{3} + 21000 y - 140 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اطرح $140 y^{3}$ من $140 y^{3}$ .

$\frac{21000 y + 0}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$

خطوة 8.4.2.2

أضف $21000 y$ و $0$ .

$\frac{21000 y}{{(y^{2} + 150)}^{2}}$