حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$π e^{\sin (x + y)} - \frac{π}{4}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $π e^{\sin (x + y)} - \frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $π e^{\sin (x + y)}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $π \frac{d}{d y} [e^{\sin (x + y)}]$ .

$π \frac{d}{d y} [e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = \sin (x + y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x + y)$ .

$π (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$π (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x + y)$ .

$π (e^{\sin (x + y)} \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \sin (y)$ و $g (y) = x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + y$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + y$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.5

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (0 + 1))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.7

أضف $0$ و $1$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 2.8

اضرب $\cos (x + y)$ في $1$ .

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- \frac{π}{4}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y) + 0$

خطوة 3.2

أضف $π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y)$ و $0$ .

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y)$