حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{x - y}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x}{x - y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x - y}$ بالصيغة ${(x - y)}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{- 1}$ و $g (y) = x - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x - y])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - y$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]))$

خطوة 3.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [- y]))$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [- y])$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (- \frac{d}{d y} [y]))$

خطوة 3.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (1 {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 3.5.2

اضرب ${(x - y)}^{- 2}$ في $1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \cdot 1)$

خطوة 3.7

اضرب ${(x - y)}^{- 2}$ في $1$ .

$x {(x - y)}^{- 2}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$

خطوة 4.2

اجمع $x$ و $\frac{1}{{(x - y)}^{2}}$ .

$\frac{x}{{(x - y)}^{2}}$