حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x y}{3 x + 8 y}$

خطوة 1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{x y}{3 x + 8 y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = 3 x + 8 y$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $3 x + 8 y$ في $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 8 y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (0 + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.6

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $8 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (8 \frac{d}{d y} [y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.7

اضرب $8$ في $- 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \frac{d}{d y} [y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \cdot 1}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.9

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اضرب $- 8$ في $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.9.2

اطرح $8 y$ من $8 y$ .

$x \frac{3 x + 0}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.9.3

أضف $3 x$ و $0$ .

$x \frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 3.9.4

اجمع $x$ و $\frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$ .

$\frac{x (3 x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{1})}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{1 + 1}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$