حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{y - 5}{y^{2} - 3 y + 15}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = y - 5$ و $g (y) = y^{2} - 3 y + 15$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 15) \frac{d}{d y} [y - 5] - (y - 5) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 15]}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y - 5$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 15) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y - 5) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 15]}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 15) (1 + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y - 5) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 15]}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 15) (1 + 0) - (y - 5) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 15]}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(y^{2} - 3 y + 15) \cdot 1 - (y - 5) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 15]}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

اضرب $y^{2} - 3 y + 15$ في $1$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - (y - 5) \frac{d}{d y} [y^{2} - 3 y + 15]}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} - 3 y + 15$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [15]$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - (y - 5) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [15])}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - (y - 5) (2 y + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [15])}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 3 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - (y - 5) (2 y - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [15])}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - (y - 5) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [15])}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.9

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - (y - 5) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} [15])}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - (y - 5) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 2.11

أضف $2 y - 3$ و $0$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - (y - 5) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 + (- y - - 5) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 + (- y + 5) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

وسّع $(- y + 5) (2 y - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - y (2 y - 3) + 5 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 5 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 5 (2 y) + 5 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 3 + 5 (2 y) + 5 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1.2.1

انقُل $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 3 + 5 (2 y) + 5 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 5 (2 y) + 5 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 5 (2 y) + 5 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.4

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - 2 y^{2} + 3 y + 5 (2 y) + 5 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.5

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - 2 y^{2} + 3 y + 10 y + 5 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.1.6

اضرب $5$ في $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - 2 y^{2} + 3 y + 10 y - 15}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3.2

أضف $3 y$ و $10 y$ .

$\frac{y^{2} - 3 y + 15 - 2 y^{2} + 13 y - 15}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} - 3 y + 15 - 2 y^{2} + 13 y - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $15$ من $15$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 13 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

أضف $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 13 y$ و $0$ .

$\frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 13 y}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

اطرح $2 y^{2}$ من $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - 3 y + 13 y}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

أضف $- 3 y$ و $13 y$ .

$\frac{- y^{2} + 10 y}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.3

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2} + 10 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $y$ من $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 10 y}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أخرِج العامل $y$ من $10 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 10}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y (- y) + y \cdot 10$ .

$\frac{y (- y + 10)}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 10)}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $10$ بالصيغة $- 1 (- 10)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 10))}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (y) - 1 (- 10)$ .

$\frac{y (- (y - 10))}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $- (y - 10)$ بالصيغة $- 1 (y - 10)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 10))}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{y (y - 10)}{{(y^{2} - 3 y + 15)}^{2}}$