حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - y}{x + y}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = x - y$ و $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x + y$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.6.3

أعِد كتابة $- 1 (x + y)$ بالصيغة $- (x + y)$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.8

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 2.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- - y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- x - y - x + y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أضف $- y$ و $y$ .

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.2

أضف $- x - x$ و $0$ .

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

اطرح $x$ من $- x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

خطوة 3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$