حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وسّع $(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} (e^{- x} + 1) + 1 (e^{- x} + 1) d x$

خطوة 1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{- x} + 1) d x$

خطوة 1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اضرب $e^{x}$ في $e^{- x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int e^{x - x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 1.2.1.1.2

اطرح $x$ من $x$ .

$\int e^{0} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 1.2.1.2

بسّط $e^{0}$ .

$\int 1 + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 1.2.1.3

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\int 1 + e^{x} + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 1.2.1.4

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

خطوة 1.2.1.5

اضرب $1$ في $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 d x$

خطوة 1.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$\int 2 + e^{x} + e^{- x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 d x + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$2 x + C + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

خطوة 4

تكامل $e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $e^{x}$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int e^{- x} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int - e^{u} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 x + C + e^{x} + C - \int e^{u} d u$

خطوة 7

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$2 x + C + e^{x} + C - (e^{u} + C)$

خطوة 8

بسّط.

$2 x + e^{x} - e^{u} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$2 x + e^{x} - e^{- x} + C$