حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{1 + \ln (z)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + \ln (z)}$ في صورة ${(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d z} [{(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ هو $f' (g (z)) g' (z)$ حيث $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ و $g (z) = 1 + \ln (z)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 + \ln (z)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + \ln (z)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(1 + \ln (z))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \ln (z))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \ln (z))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(1 + \ln (z))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 + \ln (z))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \ln (z))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 7.2.2

انقُل ${(1 + \ln (z))}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d z} [1 + \ln (z)]$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \ln (z)$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [\ln (z)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [\ln (z)])$

خطوة 7.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d z} [\ln (z)])$

خطوة 7.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d z} [\ln (z)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d z} [\ln (z)]$

خطوة 8

مشتق $\ln (z)$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $\frac{1}{z}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{z}$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $\frac{1}{2 {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{z}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}} z}$

خطوة 9.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2 z {(1 + \ln (z))}^{\frac{1}{2}}}$