حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (y) = \ln (\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{\sqrt{y^{2} + 1}})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y^{2} + 1}$ في صورة ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \ln (y)$ و $g (y) = \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 4

اضرب $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}}$ في $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \frac{d}{d y} [\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = {(2 y + 1)}^{5}$ و $g (y) = {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{5}] - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6

اضرب الأُسس في ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

خطوة 7

بسّط.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{5}] - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{5}$ و $g (y) = 2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 y + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 y + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (5 {(2 y + 1)}^{4} \frac{d}{d y} [2 y + 1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل $5$ إلى يسار ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 \cdot {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} \frac{d}{d y} [2 y + 1] - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 9.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 9.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 9.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (2 + \frac{d}{d y} [1]) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 9.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} (2 + 0) - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 9.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{5 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} \cdot 2 - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 9.7.2

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{y^{2} + 1}$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ و $g (y) = y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $y^{2} + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 10.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 10.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $y^{2} + 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 11

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 12

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 14.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{{(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 15.3

انقُل ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} (\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 15.4

اجمع $\frac{1}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و ${(2 y + 1)}^{5}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2} + 1]}{y^{2} + 1}$

خطوة 16

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{2} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + \frac{d}{d y} [1])}{y^{2} + 1}$

خطوة 18

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y + 0)}{y^{2} + 1}$

خطوة 19

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

أضف $2 y$ و $0$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{y^{2} + 1}$

خطوة 19.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - 2 \frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

خطوة 19.3

اجمع $- 2$ و $\frac{{(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y}{y^{2} + 1}$

خطوة 19.4

اجمع $\frac{- 2 {(2 y + 1)}^{5}}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $y$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{- 2 {(2 y + 1)}^{5} y}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 19.5

أخرِج العامل $2$ من $- 2 {(2 y + 1)}^{5} y$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{5} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 20

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{5} y)}{2 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{y^{2} + 1}$

خطوة 20.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{2 (- {(2 y + 1)}^{5} y)}{2 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 20.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} + \frac{- {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 21

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - \frac{{(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 22

لكتابة $10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 24

اضرب ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

انقُل ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 ({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 24.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 24.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 24.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 24.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 25

بسّط $10 {(y^{2} + 1)}^{1} {(2 y + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$

خطوة 26

أعِد كتابة $\frac{\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{y^{2} + 1}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} (\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{y^{2} + 1})$

خطوة 27

اضرب $\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (y^{2} + 1)}$

خطوة 28

اضرب ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $y^{2} + 1$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1

اضرب ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $y^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 28.1.1

ارفع $y^{2} + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

خطوة 28.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

خطوة 28.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

خطوة 28.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

خطوة 28.4

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}} \cdot \frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 29

اضرب $\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 y + 1)}^{5}}$ في $\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y)}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 30

انقُل ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 31

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.1

اضرب ${(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ في ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 31.1.1

انقُل ${(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} ({(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(y^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

خطوة 31.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

خطوة 31.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

خطوة 31.1.4

أضف $- 1$ و $3$ .

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 31.1.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{1}}$

خطوة 31.2

بسّط ${(2 y + 1)}^{5} {(y^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{10 (y^{2} + 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(10 y^{2} + 10 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.2.1

أخرِج العامل ${(2 y + 1)}^{4}$ من $(10 y^{2} + 10 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{4} - {(2 y + 1)}^{5} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.2.1.1

أخرِج العامل ${(2 y + 1)}^{4}$ من $(10 y^{2} + 10 \cdot 1) {(2 y + 1)}^{4}$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 \cdot 1) - {(2 y + 1)}^{5} y}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.1.2

أخرِج العامل ${(2 y + 1)}^{4}$ من $- {(2 y + 1)}^{5} y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{4} (- (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.1.3

أخرِج العامل ${(2 y + 1)}^{4}$ من ${(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 \cdot 1) + {(2 y + 1)}^{4} (- (2 y + 1) y)$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 \cdot 1 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.2

اضرب $10$ في $1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - (2 y + 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 + (- (2 y) - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 + (- 2 y - 1 \cdot 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 + (- 2 y - 1) y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - 2 y \cdot y - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.7

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.2.7.1

انقُل $y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - 2 (y \cdot y) - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.7.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - 2 y^{2} - 1 y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.8

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (10 y^{2} + 10 - 2 y^{2} - y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.9

اطرح $2 y^{2}$ من $10 y^{2}$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (8 y^{2} + 10 - y)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.2.10

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (8 y^{2} - y + 10)}{{(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)}$

خطوة 32.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 32.3.1

أخرِج العامل ${(2 y + 1)}^{4}$ من ${(2 y + 1)}^{5} (y^{2} + 1)$ .

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (8 y^{2} - y + 10)}{{(2 y + 1)}^{4} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

خطوة 32.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(2 y + 1)}^{4} (8 y^{2} - y + 10)}{{(2 y + 1)}^{4} ((2 y + 1) (y^{2} + 1))}$

خطوة 32.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8 y^{2} - y + 10}{(2 y + 1) (y^{2} + 1)}$