حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 x^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

خطوة 2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ و $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot 6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

خطوة 2.2.2

انقُل $6$ إلى يسار $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{6 \cdot \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}]$

خطوة 2.3

بما أن $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{6 \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \ln (y)$ و $g (y) = 5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}}$ في $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}]$

خطوة 4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} + 10 y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

خطوة 4.3

بما أن $5 x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

خطوة 4.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$

خطوة 4.5

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $10 y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $10 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (10 \frac{d}{d y} [y^{3}])$

خطوة 4.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اجمع $10$ و $\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{10 \cdot 6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 4.6.2

اضرب $10$ في $6$ .

$\frac{60}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 4.6.3

أخرِج العامل $5$ من $60$ .

$\frac{5 \cdot 12}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $5$ من $(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (3 y^{2})$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $3$ و $\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

خطوة 7.2

اضرب $3$ في $12$ .

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

خطوة 7.3

اجمع $\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ و $y^{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{\frac{3}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.2.3

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.2.5.2

أضف $4$ و $3$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{7}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 8.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{36 y^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 8.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أخرِج العامل $x^{\frac{3}{2}}$ من $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

أخرِج العامل $x^{\frac{3}{2}}$ من $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{7}{2}}}$

خطوة 8.4.1.2

أخرِج العامل $x^{\frac{3}{2}}$ من $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}}$

خطوة 8.4.1.3

أخرِج العامل $x^{\frac{3}{2}}$ من $x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{\frac{4}{2}})}$

خطوة 8.4.2

اقسِم $4$ على $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{2})}$