حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z}$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d z} [\frac{1}{z - 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{z - 1}$ بالصيغة ${(z - 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d z} [{(z - 1)}^{- 1}] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ هو $f' (g (z)) g' (z)$ حيث $f (z) = z^{- 1}$ و $g (z) = z - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $z - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $z - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z - 1] + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z - 1$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d z} [- 1]) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 2.6

أضف $1$ و $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + \frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{z}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ هو $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ حيث $f (z) = - 1$ و $g (z) = \frac{1}{z}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [\frac{1}{z}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{z}$ بالصيغة $z^{- 1}$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - \frac{d}{d z} [z^{- 1}] + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \frac{d}{d z} [- 1]$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} - - z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + 1 z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

خطوة 3.6

اضرب $z^{- 2}$ في $1$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + \frac{1}{z} \cdot 0$

خطوة 3.7

اضرب $\frac{1}{z}$ في $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2} + 0$

خطوة 3.8

أضف $z^{- 2}$ و $0$ .

$- {(z - 1)}^{- 2} + z^{- 2}$

خطوة 4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + z^{- 2}$

خطوة 5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(z - 1)}^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

خطوة 6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{z^{2}} - \frac{1}{{(z - 1)}^{2}}$