حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(4 - z^{2}) (z^{3} - 2 z + 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ هو $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ حيث $f (z) = 4 - z^{2}$ و $g (z) = z^{3} - 2 z + 2$ .

$(4 - z^{2}) \frac{d}{d z} [z^{3} - 2 z + 2] + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z^{3} - 2 z + 2$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [2]$ .

$(4 - z^{2}) (\frac{d}{d z} [z^{3}] + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} + \frac{d}{d z} [- 2 z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

خطوة 2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $- 2 z$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $- 2 \frac{d}{d z} [z]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

خطوة 2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 + \frac{d}{d z} [2]) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

خطوة 2.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2 + 0) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

خطوة 2.7

أضف $3 z^{2} - 2$ و $0$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [4 - z^{2}]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - z^{2}$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

خطوة 2.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (0 + \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

خطوة 2.10

أضف $0$ و $\frac{d}{d z} [- z^{2}]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) \frac{d}{d z} [- z^{2}]$

خطوة 2.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $- z^{2}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (- \frac{d}{d z} [z^{2}])$

خطوة 2.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (- (2 z))$

خطوة 2.13

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + (z^{3} - 2 z + 2) (- 2 z)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 - z^{2}) (3 z^{2} - 2) + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 - z^{2}) (3 z^{2}) + (4 - z^{2}) \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + (4 - z^{2}) \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (3 z^{2}) - z^{2} (3 z^{2}) + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $3$ في $4$ .

$12 z^{2} - z^{2} (3 z^{2}) + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{2} z^{2} + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.3

اضرب $z^{2}$ في $z^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

انقُل $z^{2}$ .

$12 z^{2} - 3 (z^{2} z^{2}) + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$12 z^{2} - 3 z^{2 + 2} + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.3.3

أضف $2$ و $2$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} + 4 \cdot - 2 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.4

اضرب $4$ في $- 2$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - z^{2} \cdot - 2 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$12 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + 2 z^{2} + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.6

أضف $12 z^{2}$ و $2 z^{2}$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{3} (- 2 z) - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.7

اضرب $z^{3}$ في $z$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

انقُل $z$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z \cdot z^{3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.7.2

اضرب $z$ في $z^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.2.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{1} z^{3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{1 + 3} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.7.3

أضف $1$ و $3$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 + z^{4} \cdot - 2 - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.8

انقُل $- 2$ إلى يسار $z^{4}$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 \cdot z^{4} - 2 z (- 2 z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.9

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z \cdot z + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.10

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 (z^{1} z) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.11

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 (z^{1} z^{1}) + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z^{1 + 1} + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.13

أضف $1$ و $1$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z^{2} + 2 (- 2 z)$

خطوة 3.5.14

اضرب $- 2$ في $2$ .

$14 z^{2} - 3 z^{4} - 8 - 2 z^{4} + 4 z^{2} - 4 z$

خطوة 3.5.15

اطرح $2 z^{4}$ من $- 3 z^{4}$ .

$14 z^{2} - 5 z^{4} - 8 + 4 z^{2} - 4 z$

خطوة 3.5.16

أضف $14 z^{2}$ و $4 z^{2}$ .

$18 z^{2} - 5 z^{4} - 8 - 4 z$

خطوة 3.6

أعِد ترتيب الحدود.

$- 5 z^{4} + 18 z^{2} - 4 z - 8$