حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (z) = \frac{z^{2} + 1}{3 z}$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $\frac{z^{2} + 1}{3 z}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ هو $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ حيث $f (z) = z^{2} + 1$ و $g (z) = z$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z^{2} + 1$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

خطوة 3.4

أضف $2 z$ و $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

خطوة 4

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

خطوة 5

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z^{1}) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{1 + 1} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \cdot 1}{z^{2}}$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

خطوة 9.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ .

$\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{3 z^{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1 \cdot 1}{3 z^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

خطوة 10.2.2

اطرح $z^{2}$ من $2 z^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

خطوة 10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1^{2}}{3 z^{2}}$

خطوة 10.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = z$ و $b = 1$ .

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{3 z^{2}}$