حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ هو $f' (g (z)) g' (z)$ حيث $f (z) = \ln (z)$ و $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

خطوة 3

اضرب $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ في $1$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

خطوة 4

بما أن $x^{40} y^{30}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، إذن مشتق $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ بالنسبة إلى $z$ يساوي $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $x^{40}$ و $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

خطوة 5.2

اجمع $y^{30}$ و $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{30}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

خطوة 5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{40}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

خطوة 5.4.2

اقسِم $z^{20}$ على $1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

خطوة 5.5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة $\frac{1}{z^{20}}$ بالصيغة ${(z^{20})}^{- 1}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

خطوة 5.5.2

اضرب الأُسس في ${(z^{20})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

خطوة 5.5.2.2

اضرب $20$ في $- 1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = - 20$ .

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

خطوة 7

اضرب $z^{20}$ في $z^{- 21}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل $z^{- 21}$ .

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

خطوة 7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

خطوة 7.3

أضف $- 21$ و $20$ .

$z^{- 1} \cdot - 20$

خطوة 8

انقُل $- 20$ إلى يسار $z^{- 1}$ .

$- 20 \cdot z^{- 1}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{z}$

خطوة 9.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $- 20$ و $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 20}{z}$

خطوة 9.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{20}{z}$