حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x e^{3 x^{4}}$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x e^{3 x^{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x^{4}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{3 x^{4}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x^{4}}] + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x^{4}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{4}$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} (3 (4 x^{3}))) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

اضرب $4$ في $3$ .

$4 (x (e^{3 x^{4}} (12 x^{3})) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 (x^{3} x^{1} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 (x^{3 + 1} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $3$ و $1$ .

$4 (x^{4} (e^{3 x^{4}} \cdot (12)) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.2

انقُل $12$ إلى يسار $e^{3 x^{4}}$ .

$4 (x^{4} (12 \cdot e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}} \cdot 1)$

خطوة 9

اضرب $e^{3 x^{4}}$ في $1$ .

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}}) + e^{3 x^{4}})$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x^{4} (12 e^{3 x^{4}})) + 4 e^{3 x^{4}}$

خطوة 10.2

اضرب $12$ في $4$ .

$48 x^{4} e^{3 x^{4}} + 4 e^{3 x^{4}}$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$48 e^{3 x^{4}} x^{4} + 4 e^{3 x^{4}}$

خطوة 10.4

أعِد ترتيب العوامل في $48 e^{3 x^{4}} x^{4} + 4 e^{3 x^{4}}$ .

$48 x^{4} e^{3 x^{4}} + 4 e^{3 x^{4}}$