حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 4 x^{3} \ln (2 x^{5})$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3} \ln (2 x^{5})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (2 x^{5})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \ln (2 x^{5})$ .

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{5})] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x^{5}$ .

$4 (x^{3} (\frac{1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{2 x^{5}}$ و $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب في $1$ .

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $2 x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} (2 x^{2})} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$4 (\frac{1}{2 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{2}{2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$4 (\frac{1}{x^{2}} (5 x^{4}) + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

اجمع $5$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$4 (\frac{5}{x^{2}} x^{4} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{5}{x^{2}}$ و $x^{4}$ .

$4 (\frac{5 x^{4}}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $5 x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2}} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.3.2.1

اضرب في $1$ .

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{x^{2} (5 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{5 x^{2}}{1} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.6.3.2.4

اقسِم $5 x^{2}$ على $1$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (5 x^{2} + \ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (5 x^{2}) + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

خطوة 5.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $5$ في $4$ .

$20 x^{2} + 4 (\ln (2 x^{5}) (3 x^{2}))$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $4$ .

$20 x^{2} + 12 \ln (2 x^{5}) x^{2}$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$20 x^{2} + 12 x^{2} \ln (2 x^{5})$