حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x \sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}$ في صورة ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 2 x + 2$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 2 x + 2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.3

انقُل ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 13

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2 + 0) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 15

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

خطوة 17

اضرب ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2)) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اجمع $\frac{x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ و $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 2) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.3

أعِد ترتيب الحدود.

$(2 x - 2) \frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

اضرب $2 x - 2$ في $\frac{x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.4.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{(2 (x) - 2) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.4.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.4.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 18.5

لكتابة $2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (x - 1) x}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.7.1

أخرِج العامل $2$ من $2 (x - 1) x + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.7.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 (x - 1) x$ .

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 ((x - 1) x) + 2 ({(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 ((x - 1) x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (x \cdot x - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.3

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.5

اضرب ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.7.5.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.5.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{2}{2}})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.5.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + {(x^{2} - 2 x + 2)}^{1})}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.6

بسّط ${(x^{2} - 2 x + 2)}^{1}$ .

$\frac{2 (x^{2} - x + x^{2} - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.7

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - x - 2 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18.7.8

اطرح $2 x$ من $- x$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 3 x + 2)}{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$