حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x (\sqrt{x} - x^{2} + 3 x - 5)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$

خطوة 1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5] + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$2 (x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.3

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 11

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14

اضرب $3$ في $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 15

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3 + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 16

أضف $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3$ و $0$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + (x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5) \cdot 1)$

خطوة 18

اضرب $x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5$ في $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x + 3) + x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$

خطوة 19

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x (- 2 x) + x \cdot 3 + x^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 3 x - 5)$

خطوة 19.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.3

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.3.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.3.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.3.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.3.4

اطرح $1$ من $2$ .

$2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.4

اجمع $2$ و $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.6

اقسِم $x^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (x (- 2 x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 (x^{1} x)) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x^{1 + 1}) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.10

أضف $1$ و $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.11

اضرب $- 2$ في $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 2 (x \cdot 3) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.12

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 2 (3 \cdot x) + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.13

اضرب $3$ في $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{2} + 6 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.14

أضف $x^{\frac{1}{2}}$ و $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2}) + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.15

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 4 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.16

اطرح $2 x^{2}$ من $- 4 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.17

اضرب $3$ في $2$ .

$- 6 x^{2} + 6 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 6 x + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.18

أضف $6 x$ و $6 x$ .

$- 6 x^{2} + 12 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot - 5$

خطوة 19.3.19

اضرب $2$ في $- 5$ .

$- 6 x^{2} + 12 x + 3 x^{\frac{1}{2}} - 10$