حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 \sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$ في صورة ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 7.3

انقُل ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

خطوة 7.4

اجمع $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ و $3$ .

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

خطوة 7.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

خطوة 7.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 11

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 12

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + 0)$

خطوة 13

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أضف $4 x$ و $0$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x)$

خطوة 13.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

خطوة 13.3

اجمع $\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ و $x$ .

$\frac{4 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$