حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 e^{4 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$3 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 2.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 2.5

اضرب $4$ في $1$ .

$3 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 2.6

انقُل $4$ إلى يسار $e^{4 x}$ .

$3 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 2.7

اضرب $4$ في $3$ .

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{5} (x)$ و $g (x) = 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $7 x$ .

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [\log_{5} (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\log_{5} (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2} \ln (5)}$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{u_{2} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $7 x$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \cdot 1)$

خطوة 3.4

اضرب $7$ في $1$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \cdot 7$

خطوة 3.5

اجمع $\frac{1}{7 x \ln (5)}$ و $7$ .

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

خطوة 3.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$12 e^{4 x} + \frac{1}{x \ln (5)}$

خطوة 4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{x \ln (5)} + 12 e^{4 x}$