حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 (\cos (x) + \sin (x)) \cdot (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (x) + \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x) - \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)] + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) - \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

خطوة 4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

خطوة 6

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 8

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

خطوة 9

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x))) + 3 ((\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

خطوة 10.2

احذِف الأقواس.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x))$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 (- \sin (x)) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$(- 3 \sin (x) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.4

وسّع $(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.1.1

اضرب $- 3 \sin (x) \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.1.1.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5.1.1.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5.1.2

اضرب $- 3 \cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.1.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5.1.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5.2

أعِد ترتيب عوامل $- 3 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.5.3

اطرح $3 \cos (x) \sin (x)$ من $- 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.6

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.7

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.8

أخرِج العامل $- 3$ من $- 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x))$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.9

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.10

اضرب $- 3$ في $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.11

طبّق خاصية التوزيع.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (3 (- \sin (x)) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.12

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.13

وسّع $(- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 10.4.13.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.14.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.14.1.1

اضرب $- 3 \sin (x) (- \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.14.1.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14.1.1.2

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14.1.1.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14.1.1.5

أضف $1$ و $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14.1.2

اضرب $3 \cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.14.1.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14.1.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

خطوة 10.4.14.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 10.4.14.2

أعِد ترتيب عوامل $- 3 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 10.4.14.3

اطرح $3 \cos (x) \sin (x)$ من $- 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

خطوة 10.4.15

أخرِج العامل $3$ من $3 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

خطوة 10.4.16

أخرِج العامل $3$ من $3 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$

خطوة 10.4.17

أخرِج العامل $3$ من $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

خطوة 10.4.18

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1$

خطوة 10.4.19

اضرب $3$ في $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$

خطوة 10.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أضف $- 3$ و $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

خطوة 10.5.2

أضف $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$ و $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 10.6

اطرح $6 \cos (x) \sin (x)$ من $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x)$