حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cos (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (8 x)$ و $g (x) = \ln (\cos^{2} (8 x))$ .

$\cos (8 x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos^{2} (8 x))] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos^{2} (8 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos^{2} (8 x)$ .

$\cos (8 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\cos (8 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos^{2} (8 x)$ .

$\cos (8 x) (\frac{1}{\cos^{2} (8 x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 3

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (8 x)}$ إلى $\sec^{2} (8 x)$ .

$\cos (8 x) (\sec^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (8 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (8 x)$ .

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (8 x)$ .

$\cos (8 x) \sec^{2} (8 x) (2 \cos (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 5

ارفع $\cos (8 x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{2} (8 x) (2 (\cos^{1} (8 x) \cos (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 6

ارفع $\cos (8 x)$ إلى القوة $1$ .

$\sec^{2} (8 x) (2 (\cos^{1} (8 x) \cos^{1} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\sec^{2} (8 x) (2 {\cos (8 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أضف $1$ و $1$ .

$\sec^{2} (8 x) (2 \cos^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 8.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (8 x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $8 x$ .

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 9.2

مشتق $\cos (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $- \sin (u_{3})$ .

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $8 x$ .

$2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 10

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) (\sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 10.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 10.3

اضرب $8$ في $- 2$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x] + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 10.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) \cdot 1 + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 10.5

اضرب $- 16$ في $1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) \frac{d}{d x} [\cos (8 x)]$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $8 x$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 11.2

مشتق $\cos (u_{4})$ بالنسبة إلى $u_{4}$ يساوي $- \sin (u_{4})$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 11.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $8 x$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 12.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x) \cdot 1)$

خطوة 12.4

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- 16 \sec^{2} (8 x) \cos^{2} (8 x) \sin (8 x) + \ln (\cos^{2} (8 x)) (- 8 \sin (8 x))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- 16 \cos^{2} (8 x) \sec^{2} (8 x) \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

خطوة 13.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

أعِد كتابة $\sec (8 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$- 16 \cos^{2} (8 x) {(\frac{1}{\cos (8 x)})}^{2} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

خطوة 13.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (8 x)}$ .

$- 16 \cos^{2} (8 x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

خطوة 13.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos^{2} (8 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.3.1

أخرِج العامل $\cos^{2} (8 x)$ من $- 16 \cos^{2} (8 x)$ .

$\cos^{2} (8 x) \cdot - 16 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

خطوة 13.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\cos^{2} (8 x) \cdot - 16 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (8 x)} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

خطوة 13.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 16 \cdot 1^{2} \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

خطوة 13.2.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- 16 \cdot 1 \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$

خطوة 13.2.5

اضرب $- 16$ في $1$ .

$- 16 \sin (8 x) - 8 \sin (8 x) \ln (\cos^{2} (8 x))$