حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cos (\frac{x}{x - 1})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{x - 1}$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = x - 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $x - 1$ في $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.3

اطرح $x$ من $x$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.4.1

اطرح $1$ من $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

خطوة 3.6.4.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.4.4

اضرب $\sin (\frac{x}{x - 1})$ في $1$ .

$\sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.5

اجمع $\sin (\frac{x}{x - 1})$ و $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{x - 1})}{{(x - 1)}^{2}}$