حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

خطوة 1.2

مشتق $\arctan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{e^{2 x}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $e^{2 x}$ و $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

اجمع $2$ و $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

خطوة 4.5

اضرب $\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ في $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

خطوة 5.3.2

اضرب الأُسس في ${(e^{2 x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

خطوة 5.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

خطوة 5.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

خطوة 5.3.4

اجمع $3$ و $\frac{e^{4 x}}{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

خطوة 5.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

خطوة 5.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

خطوة 5.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

خطوة 5.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

خطوة 5.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

خطوة 5.4.2

اجمع $3$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

خطوة 5.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

خطوة 5.4.4

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

خطوة 5.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

خطوة 5.6

اضرب $2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اجمع $\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ و $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

خطوة 5.6.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

خطوة 5.6.3

اجمع $\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ و $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$