حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arcsin (\sqrt{5 - 3 x^{2}})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5 - 3 x^{2}}$ في صورة ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arcsin (x)$ و $g (x) = {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\arcsin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(5 - 3 x^{2})}^{1}}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4

بسّط.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 5 - 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 10.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{{(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 10.3

انقُل ${(5 - 3 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}])$

خطوة 10.4

اضرب $\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{\sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}]$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

خطوة 12

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

خطوة 13

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

خطوة 14

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$ .

$\frac{- 3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 15.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} (2 x)$

خطوة 17

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} x$

خطوة 17.2

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} x$

خطوة 17.3

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{- 6}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}} x$

خطوة 17.4

اجمع $\frac{- 6}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$ و $x$ .

$\frac{- 6 x}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$

خطوة 17.5

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$

خطوة 18

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 ({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})})}$

خطوة 18.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 ({(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})})}$

خطوة 18.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$

خطوة 19

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (5 - 3 x^{2})}}$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 1 \cdot 5 - (- 3 x^{2})}}$

خطوة 20.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 5 - (- 3 x^{2})}}$

خطوة 20.2.2

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 5 + 3 x^{2}}}$

خطوة 20.2.3

اطرح $5$ من $1$ .

$- \frac{3 x}{{(5 - 3 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- 4 + 3 x^{2}}}$