حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\arctan (\frac{x}{4}) - \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{4})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = \frac{x}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\arctan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} (\frac{1}{4} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

خطوة 2.4

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}} \cdot \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

خطوة 2.5

اضرب $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{4})}^{2}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{4})}^{2}) \cdot 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

خطوة 2.6

انقُل $4$ إلى يسار $1 + {(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{2 (x^{2} + 16)}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 16}]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 16}$ بالصيغة ${(x^{2} + 16)}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} + 16$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + 16$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [16]))$

خطوة 3.6

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x + 0))$

خطوة 3.7

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- {(x^{2} + 16)}^{- 2} (2 x))$

خطوة 3.8

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} - \frac{1}{2} (- 2 {(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

خطوة 3.9

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + 2 (\frac{1}{2}) ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

خطوة 3.10

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2}{2} ({(x^{2} + 16)}^{- 2} x)$

خطوة 3.11

اجمع ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2} x$

خطوة 3.12

اجمع $\frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2}{2}$ و $x$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{{(x^{2} + 16)}^{- 2} \cdot 2 x}{2}$

خطوة 3.13

انقُل $2$ إلى يسار ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 \cdot {(x^{2} + 16)}^{- 2} x}{2}$

خطوة 3.14

انقُل ${(x^{2} + 16)}^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 3.15

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.15.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 3.15.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4 (1 + {(\frac{x}{4})}^{2})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{4 (1 + \frac{x^{2}}{4^{2}})} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4 \cdot 1 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{4^{2}}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{4 + 4 \frac{x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

اجمع $4$ و $\frac{x^{2}}{16}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 (x^{2})}{16}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 + \frac{4 x^{2}}{4 \cdot 4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.3.5

لكتابة $\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

خطوة 4.3.6

لكتابة $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

$\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}} \cdot \frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

خطوة 4.3.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.7.1

اضرب $\frac{1}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ في $\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$

خطوة 4.3.7.2

اضرب $\frac{x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ في $\frac{4 + \frac{x^{2}}{4}}{4 + \frac{x^{2}}{4}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

خطوة 4.3.7.3

أعِد ترتيب عوامل $(4 + \frac{x^{2}}{4}) {(x^{2} + 16)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})} + \frac{x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$

خطوة 4.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} + x (4 + \frac{x^{2}}{4})}{{(x^{2} + 16)}^{2} (4 + \frac{x^{2}}{4})}$