حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 6 \sqrt{4 + x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 + x}$ في صورة ${(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 4 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 + x$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 + x$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 (\frac{1}{2} {(4 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{{(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 9

انقُل ${(4 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 (\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x])$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ و $6$ .

$\frac{6}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

خطوة 11

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

خطوة 12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 ({(4 + x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [4 + x]$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 {(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 + x]$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 15

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 17

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

اضرب $\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{3}{{(4 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{3}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$