حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (10 x^{2 - 5 x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 10 x^{2 - 5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $10 x^{2 - 5 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $10 x^{2 - 5 x}$ .

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x^{2 - 5 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$ .

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} (10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}])$

خطوة 2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اجمع $10$ و $\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

خطوة 2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

خطوة 2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

خطوة 3

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $x^{2 - 5 x}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{2 - 5 x})}$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 - 5 x})}]$

خطوة 3.2

وسّع $\ln (x^{2 - 5 x})$ بنقل $2 - 5 x$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{(2 - 5 x) \ln (x)}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = (2 - 5 x) \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $(2 - 5 x) \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $(2 - 5 x) \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{(2 - 5 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

خطوة 5

اجمع $e^{(2 - 5 x) \ln (x)}$ و $\frac{1}{x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 2 - 5 x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

خطوة 7

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

خطوة 8.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

خطوة 8.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- 5 x])$

خطوة 8.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \cdot 1))$

خطوة 8.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اضرب $- 5$ في $1$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 5)$

خطوة 8.6.2

انقُل $- 5$ إلى يسار $\ln (x)$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \cdot \ln (x))$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (2 \frac{1}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

خطوة 9.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

خطوة 9.3.2

اجمع $- 5$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + x \frac{- 5}{x} - 5 \ln (x))$

خطوة 9.3.3

اجمع $x$ و $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x} - 5 \ln (x))$

خطوة 9.3.4

انقُل $- 5$ إلى يسار $x$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 \cdot x}{x} - 5 \ln (x))$

خطوة 9.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x))$

خطوة 9.3.5.2

اقسِم $- 5$ على $1$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$

خطوة 9.4

أعِد ترتيب عوامل $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$ .

$(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) \frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.5

اضرب $\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)$ في $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.6.1

لكتابة $- 5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.6.2

اجمع $- 5$ و $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.6.4

لكتابة $- 5 \ln (x)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x) \cdot \frac{x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.6.5

اجمع $- 5 \ln (x)$ و $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} + \frac{- 5 \ln (x) x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.6.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x} e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.7

اجمع $\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x}$ و $e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ .

$\frac{\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x}}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.8

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.9

اجمع.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x \cdot x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.10

اضرب $x$ في $x^{2 - 5 x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

اضرب $x$ في $x^{2 - 5 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1} x^{2 - 5 x}}$

خطوة 9.10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1 + 2 - 5 x}}$

خطوة 9.10.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{3 - 5 x}}$

خطوة 9.11

اضرب $(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ في $1$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$

خطوة 9.12

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} (2 - 5 x - 5 x \ln (x))}{x^{3 - 5 x}}$