حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (\arctan (5 x^{2}))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \arctan (5 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = 5 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

خطوة 2.2

مشتق $\arctan (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

خطوة 3.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 (x^{2})$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

خطوة 3.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

خطوة 3.2.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

خطوة 3.2.1.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{4}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

خطوة 3.2.2

اضرب $\frac{1}{1 + 25 x^{4}}$ في $\frac{1}{\arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

خطوة 3.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.4

اجمع $5$ و $\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (2 x)$

خطوة 3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اجمع $2$ و $\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

خطوة 3.6.3

اجمع $\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ و $x$ .

$\frac{10 x}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{10 x}{1 \arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

خطوة 4.2

اضرب $\arctan (5 x^{2})$ في $1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{10 x}{25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $\arctan (5 x^{2})$ من $25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $\arctan (5 x^{2})$ من $25 x^{4} \arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2})}$

خطوة 4.4.2

اضرب في $1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $\arctan (5 x^{2})$ من $\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4} + 1)}$