حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (e^{5 x} + 6)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{5 x} + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $e^{5 x} + 6$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $e^{5 x} + 6$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{5 x} + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 4.3.2

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [6])$

خطوة 4.4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 e^{5 x} + 0)$

خطوة 4.5

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أضف $5 e^{5 x}$ و $0$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 e^{5 x})$

خطوة 4.5.2

اجمع $5$ و $\frac{1}{e^{5 x} + 6}$ .

$\frac{5}{e^{5 x} + 6} e^{5 x}$

خطوة 4.5.3

اجمع $\frac{5}{e^{5 x} + 6}$ و $e^{5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{e^{5 x} + 6}$