حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{9 x^{2} - 1}{3 x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 9 x^{2} - 1$ و $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1] - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{(3 x - 1) (18 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(3 x - 1) (18 x + 0) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $18 x$ و $0$ .

$\frac{(3 x - 1) (18 x) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

انقُل $18$ إلى يسار $3 x - 1$ .

$\frac{18 \cdot (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.10

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

أضف $3$ و $0$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.12.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(18 (3 x) + 18 \cdot - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{18 (3 (x \cdot x)) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{18 (3 x^{2}) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $3$ في $18$ .

$\frac{54 x^{2} + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $18$ في $- 1$ .

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $9$ في $- 3$ .

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $27 x^{2}$ من $54 x^{2}$ .

$\frac{27 x^{2} - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $3$ من $27 x^{2} - 18 x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

أخرِج العامل $3$ من $27 x^{2}$ .

$\frac{3 (9 x^{2}) - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 18 x$ .

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x)$ .

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.2.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

خطوة 3.5.2.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5.2.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = 3 x$ و $b = 1$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

ألغِ العامل المشترك لـ ${(3 x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اقسِم $3$ على $1$ .

$3$