حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = \csc (1 - x + 3 x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (1 - x + 3 x^{2})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 1 - x + 3 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $1 - x + 3 x^{2}$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

خطوة 2.2

مشتق $\csc (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $1 - x + 3 x^{2}$ .

$5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (- \csc (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

خطوة 3

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2}) (\csc (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

خطوة 4

ارفع $\csc (1 - x + 3 x^{2})$ إلى القوة $1$ .

$- 5 (\csc^{1} (1 - x + 3 x^{2}) \csc^{4} (1 - x + 3 x^{2})) (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 5 {\csc (1 - x + 3 x^{2})}^{1 + 4} (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

خطوة 6

أضف $1$ و $4$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) (\cot (1 - x + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x + 3 x^{2}])$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x + 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

خطوة 8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

خطوة 9

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

خطوة 12

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])$

خطوة 13

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 3 (2 x))$

خطوة 15

اضرب $2$ في $3$ .

$- 5 \csc^{5} (1 - x + 3 x^{2}) \cot (1 - x + 3 x^{2}) (- 1 + 6 x)$