حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{9 x^{2} + 1}{x^{2} + 9}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 9 x^{2} + 1$ و $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $18 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

انقُل $18$ إلى يسار $x^{2} + 9$ .

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.9

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 2.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $18$ في $9$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.4

اضرب $9$ في $- 2$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اطرح $18 x^{3}$ من $18 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0 - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.2.2

أضف $162 x$ و $0$ .

$\frac{162 x - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

اطرح $2 x$ من $162 x$ .

$\frac{160 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$