حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln ({(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{9}{5}}$ و $g (x) = 5 x^{8} + 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x^{8} + 7 x$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{9}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {u_{2}}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x^{8} + 7 x$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

خطوة 6.2

اطرح $5$ من $9$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9}{5} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

خطوة 7

اجمع $\frac{9}{5}$ و ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} (\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x])$

خطوة 8

اضرب $\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5}$ في $\frac{1}{{(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}}$ .

$\frac{9 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

خطوة 9

انقُل ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{4}{5}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

خطوة 10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب ${(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}}$ في ${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

انقُل ${(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{9}{5 ({(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5}} {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{9}{5}})} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

خطوة 10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{- \frac{4}{5} + \frac{9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

خطوة 10.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{- 4 + 9}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

خطوة 10.1.4

أضف $- 4$ و $9$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

خطوة 10.1.5

اقسِم $5$ على $5$ .

$\frac{9}{5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

خطوة 10.2

بسّط $5 {(5 x^{8} + 7 x)}^{1}$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} \frac{d}{d x} [5 x^{8} + 7 x]$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{8} + 7 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (\frac{d}{d x} [5 x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

خطوة 12

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{8}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (5 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [7 x])$

خطوة 14

اضرب $8$ في $5$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + \frac{d}{d x} [7 x])$

خطوة 15

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7 \cdot 1)$

خطوة 17

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{9}{5 (5 x^{8} + 7 x)} (40 x^{7} + 7)$

خطوة 18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{9}{5 (5 x^{8}) + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

خطوة 18.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اضرب $5$ في $5$ .

$\frac{9}{25 x^{8} + 5 (7 x)} (40 x^{7} + 7)$

خطوة 18.2.2

اضرب $7$ في $5$ .

$\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$

خطوة 18.3

أعِد ترتيب عوامل $\frac{9}{25 x^{8} + 35 x} (40 x^{7} + 7)$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{25 x^{8} + 35 x}$

خطوة 18.4

أخرِج العامل $5 x$ من $25 x^{8} + 35 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

أخرِج العامل $5 x$ من $25 x^{8}$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 35 x}$

خطوة 18.4.2

أخرِج العامل $5 x$ من $35 x$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)}$

خطوة 18.4.3

أخرِج العامل $5 x$ من $5 x (5 x^{7}) + 5 x (7)$ .

$(40 x^{7} + 7) \frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

خطوة 18.5

اضرب $40 x^{7} + 7$ في $\frac{9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$ .

$\frac{(40 x^{7} + 7) \cdot 9}{5 x (5 x^{7} + 7)}$

خطوة 18.6

انقُل $9$ إلى يسار $40 x^{7} + 7$ .

$\frac{9 (40 x^{7} + 7)}{5 x (5 x^{7} + 7)}$