حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln ({(3 - x)}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ و $g (x) = 3 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 - x$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 - x])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 - x$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(3 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 - x])$

خطوة 7

اجمع $\frac{3}{2}$ و ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 - x])$

خطوة 8

اضرب $\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ في $\frac{1}{{(3 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 {(3 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

خطوة 9

انقُل ${(3 - x)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{3}{2}} {(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

خطوة 10

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب ${(3 - x)}^{\frac{3}{2}}$ في ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

انقُل ${(3 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 ({(3 - x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [3 - x]$

خطوة 10.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

خطوة 10.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

خطوة 10.1.4

أضف $- 1$ و $3$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

خطوة 10.1.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{3}{2 {(3 - x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 - x]$

خطوة 10.2

بسّط $2 {(3 - x)}^{1}$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [3 - x]$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 12

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 13

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 14

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3}{2 (3 - x)} \cdot - 1$

خطوة 16.2

اجمع $\frac{3}{2 (3 - x)}$ و $- 1$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{2 (3 - x)}$

خطوة 16.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{- 3}{2 (3 - x)}$

خطوة 16.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{2 (3 - x)}$