حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\ln (15 x)}{15 x}$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{15}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{\ln (15 x)}{15 x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (15 x)}{x}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (15 x)}{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (15 x)$ و $g (x) = x$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (15 x)] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 15 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $15 x$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [15 x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [15 x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $15 x$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x (\frac{1}{15 x} \frac{d}{d x} [15 x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{15 x}$ و $x$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{x}{15 x} \frac{d}{d x} [15 x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{x}{15 x} \frac{d}{d x} [15 x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [15 x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.3

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{1}{15} (15 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اجمع $15$ و $\frac{1}{15}$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{15}{15} \frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{15}{15} \frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.4.3

اضرب $\frac{d}{d x} [x]$ في $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 - \ln (15 x) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 4.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 - \ln (15 x)}{x^{2}}$

خطوة 4.7.2

اضرب $\frac{1}{15}$ في $\frac{1 - \ln (15 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (15 x)}{15 x^{2}}$