حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \log_{3} (\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x}$ في صورة ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{3} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{3} (x)$ و $g (x) = {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\log_{3} (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ و $g (x) = 2 x^{4} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 7.2

اطرح $4$ من $1$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{4}$ و ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{{(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 10

انقُل ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

خطوة 11

اضرب $\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}}$ في $\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

خطوة 12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

خطوة 13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 + 3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

خطوة 13.2

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

خطوة 14

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

خطوة 14.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

خطوة 15

بسّط.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

خطوة 16

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{4} - 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 17

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 18

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 19

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

خطوة 20

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 21

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \cdot 1)$

خطوة 22

اضرب $- 6$ في $1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{(4 (2 x^{4}) + 4 (- 6 x)) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

خطوة 23.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4 (2 x^{4}) \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

خطوة 23.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.3.1

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

خطوة 23.3.2

اضرب $- 6$ في $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

خطوة 23.4

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)}$

خطوة 23.5

أخرِج العامل $8 x \ln (3)$ من $8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.5.1

أخرِج العامل $8 x \ln (3)$ من $8 x^{4} \ln (3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) - 24 x \ln (3)}$

خطوة 23.5.2

أخرِج العامل $8 x \ln (3)$ من $- 24 x \ln (3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)}$

خطوة 23.5.3

أخرِج العامل $8 x \ln (3)$ من $8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

خطوة 23.6

اضرب $8 x^{3} - 6$ في $\frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$ .

$\frac{8 x^{3} - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

خطوة 23.7

احذِف العامل المشترك لـ $8 x^{3} - 6$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.7.1

أخرِج العامل $2$ من $8 x^{3}$ .

$\frac{2 (4 x^{3}) - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

خطوة 23.7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

خطوة 23.7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

خطوة 23.7.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.7.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8 x \ln (3) (x^{3} - 3)$ .

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

خطوة 23.7.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

خطوة 23.7.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 x^{3} - 3}{4 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$