حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = e^{x \ln (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

خطوة 4.4

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

خطوة 5.2

اضرب $e^{x \ln (x)}$ في $1$ .

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$